3.919 \(\int x (a+b x)^n (c+d x)^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=154 \[ \frac{d^2 (3 b c-4 a d) (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}-\frac{a (b c-a d)^3 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}+\frac{(b c-4 a d) (b c-a d)^2 (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{3 d (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[Out]

-((a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d
)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^
(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (d^2*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) +
(d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.197074, antiderivative size = 154, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.062 \[ \frac{d^2 (3 b c-4 a d) (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}-\frac{a (b c-a d)^3 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}+\frac{(b c-4 a d) (b c-a d)^2 (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{3 d (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[x*(a + b*x)^n*(c + d*x)^3,x]

[Out]

-((a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d
)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2 + n)) + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^
(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (d^2*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^5*(4 + n)) +
(d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 43.0438, size = 138, normalized size = 0.9 \[ \frac{a \left (a + b x\right )^{n + 1} \left (a d - b c\right )^{3}}{b^{5} \left (n + 1\right )} + \frac{d^{3} \left (a + b x\right )^{n + 5}}{b^{5} \left (n + 5\right )} - \frac{d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 4} \left (4 a d - 3 b c\right )}{b^{5} \left (n + 4\right )} + \frac{3 d \left (a + b x\right )^{n + 3} \left (a d - b c\right ) \left (2 a d - b c\right )}{b^{5} \left (n + 3\right )} - \frac{\left (a + b x\right )^{n + 2} \left (a d - b c\right )^{2} \left (4 a d - b c\right )}{b^{5} \left (n + 2\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate(x*(b*x+a)**n*(d*x+c)**3,x)

[Out]

a*(a + b*x)**(n + 1)*(a*d - b*c)**3/(b**5*(n + 1)) + d**3*(a + b*x)**(n + 5)/(b*
*5*(n + 5)) - d**2*(a + b*x)**(n + 4)*(4*a*d - 3*b*c)/(b**5*(n + 4)) + 3*d*(a +
b*x)**(n + 3)*(a*d - b*c)*(2*a*d - b*c)/(b**5*(n + 3)) - (a + b*x)**(n + 2)*(a*d
- b*c)**2*(4*a*d - b*c)/(b**5*(n + 2))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.28124, size = 296, normalized size = 1.92 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (24 a^4 d^3-6 a^3 b d^2 (3 c (n+5)+4 d (n+1) x)+6 a^2 b^2 d \left (c^2 \left (n^2+9 n+20\right )+3 c d \left (n^2+6 n+5\right ) x+2 d^2 \left (n^2+3 n+2\right ) x^2\right )-a b^3 \left (c^3 \left (n^3+12 n^2+47 n+60\right )+6 c^2 d \left (n^3+10 n^2+29 n+20\right ) x+9 c d^2 \left (n^3+8 n^2+17 n+10\right ) x^2+4 d^3 \left (n^3+6 n^2+11 n+6\right ) x^3\right )+b^4 (n+1) x \left (c^3 \left (n^3+12 n^2+47 n+60\right )+3 c^2 d \left (n^3+11 n^2+38 n+40\right ) x+3 c d^2 \left (n^3+10 n^2+31 n+30\right ) x^2+d^3 \left (n^3+9 n^2+26 n+24\right ) x^3\right )\right )}{b^5 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[x*(a + b*x)^n*(c + d*x)^3,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*(24*a^4*d^3 - 6*a^3*b*d^2*(3*c*(5 + n) + 4*d*(1 + n)*x) + 6*a
^2*b^2*d*(c^2*(20 + 9*n + n^2) + 3*c*d*(5 + 6*n + n^2)*x + 2*d^2*(2 + 3*n + n^2)
*x^2) - a*b^3*(c^3*(60 + 47*n + 12*n^2 + n^3) + 6*c^2*d*(20 + 29*n + 10*n^2 + n^
3)*x + 9*c*d^2*(10 + 17*n + 8*n^2 + n^3)*x^2 + 4*d^3*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)*x^
3) + b^4*(1 + n)*x*(c^3*(60 + 47*n + 12*n^2 + n^3) + 3*c^2*d*(40 + 38*n + 11*n^2
+ n^3)*x + 3*c*d^2*(30 + 31*n + 10*n^2 + n^3)*x^2 + d^3*(24 + 26*n + 9*n^2 + n^
3)*x^3)))/(b^5*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n))

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.015, size = 685, normalized size = 4.5 \[{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ({b}^{4}{d}^{3}{n}^{4}{x}^{4}+3\,{b}^{4}c{d}^{2}{n}^{4}{x}^{3}+10\,{b}^{4}{d}^{3}{n}^{3}{x}^{4}-4\,a{b}^{3}{d}^{3}{n}^{3}{x}^{3}+3\,{b}^{4}{c}^{2}d{n}^{4}{x}^{2}+33\,{b}^{4}c{d}^{2}{n}^{3}{x}^{3}+35\,{b}^{4}{d}^{3}{n}^{2}{x}^{4}-9\,a{b}^{3}c{d}^{2}{n}^{3}{x}^{2}-24\,a{b}^{3}{d}^{3}{n}^{2}{x}^{3}+{b}^{4}{c}^{3}{n}^{4}x+36\,{b}^{4}{c}^{2}d{n}^{3}{x}^{2}+123\,{b}^{4}c{d}^{2}{n}^{2}{x}^{3}+50\,{b}^{4}{d}^{3}n{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{3}{n}^{2}{x}^{2}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}d{n}^{3}x-72\,a{b}^{3}c{d}^{2}{n}^{2}{x}^{2}-44\,a{b}^{3}{d}^{3}n{x}^{3}+13\,{b}^{4}{c}^{3}{n}^{3}x+147\,{b}^{4}{c}^{2}d{n}^{2}{x}^{2}+183\,{b}^{4}c{d}^{2}n{x}^{3}+24\,{d}^{3}{x}^{4}{b}^{4}+18\,{a}^{2}{b}^{2}c{d}^{2}{n}^{2}x+36\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{3}n{x}^{2}-a{b}^{3}{c}^{3}{n}^{3}-60\,a{b}^{3}{c}^{2}d{n}^{2}x-153\,a{b}^{3}c{d}^{2}n{x}^{2}-24\,a{b}^{3}{d}^{3}{x}^{3}+59\,{b}^{4}{c}^{3}{n}^{2}x+234\,{b}^{4}{c}^{2}dn{x}^{2}+90\,{b}^{4}c{d}^{2}{x}^{3}-24\,{a}^{3}b{d}^{3}nx+6\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}d{n}^{2}+108\,{a}^{2}{b}^{2}c{d}^{2}nx+24\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{3}{x}^{2}-12\,a{b}^{3}{c}^{3}{n}^{2}-174\,a{b}^{3}{c}^{2}dnx-90\,a{b}^{3}c{d}^{2}{x}^{2}+107\,{b}^{4}{c}^{3}nx+120\,{b}^{4}{c}^{2}d{x}^{2}-18\,{a}^{3}bc{d}^{2}n-24\,{a}^{3}b{d}^{3}x+54\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}dn+90\,{a}^{2}{b}^{2}c{d}^{2}x-47\,a{b}^{3}{c}^{3}n-120\,a{b}^{3}{c}^{2}dx+60\,{b}^{4}{c}^{3}x+24\,{a}^{4}{d}^{3}-90\,{a}^{3}bc{d}^{2}+120\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}d-60\,a{b}^{3}{c}^{3} \right ) }{{b}^{5} \left ({n}^{5}+15\,{n}^{4}+85\,{n}^{3}+225\,{n}^{2}+274\,n+120 \right ) }} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int(x*(b*x+a)^n*(d*x+c)^3,x)

[Out]

(b*x+a)^(1+n)*(b^4*d^3*n^4*x^4+3*b^4*c*d^2*n^4*x^3+10*b^4*d^3*n^3*x^4-4*a*b^3*d^
3*n^3*x^3+3*b^4*c^2*d*n^4*x^2+33*b^4*c*d^2*n^3*x^3+35*b^4*d^3*n^2*x^4-9*a*b^3*c*
d^2*n^3*x^2-24*a*b^3*d^3*n^2*x^3+b^4*c^3*n^4*x+36*b^4*c^2*d*n^3*x^2+123*b^4*c*d^
2*n^2*x^3+50*b^4*d^3*n*x^4+12*a^2*b^2*d^3*n^2*x^2-6*a*b^3*c^2*d*n^3*x-72*a*b^3*c
*d^2*n^2*x^2-44*a*b^3*d^3*n*x^3+13*b^4*c^3*n^3*x+147*b^4*c^2*d*n^2*x^2+183*b^4*c
*d^2*n*x^3+24*b^4*d^3*x^4+18*a^2*b^2*c*d^2*n^2*x+36*a^2*b^2*d^3*n*x^2-a*b^3*c^3*
n^3-60*a*b^3*c^2*d*n^2*x-153*a*b^3*c*d^2*n*x^2-24*a*b^3*d^3*x^3+59*b^4*c^3*n^2*x
+234*b^4*c^2*d*n*x^2+90*b^4*c*d^2*x^3-24*a^3*b*d^3*n*x+6*a^2*b^2*c^2*d*n^2+108*a
^2*b^2*c*d^2*n*x+24*a^2*b^2*d^3*x^2-12*a*b^3*c^3*n^2-174*a*b^3*c^2*d*n*x-90*a*b^
3*c*d^2*x^2+107*b^4*c^3*n*x+120*b^4*c^2*d*x^2-18*a^3*b*c*d^2*n-24*a^3*b*d^3*x+54
*a^2*b^2*c^2*d*n+90*a^2*b^2*c*d^2*x-47*a*b^3*c^3*n-120*a*b^3*c^2*d*x+60*b^4*c^3*
x+24*a^4*d^3-90*a^3*b*c*d^2+120*a^2*b^2*c^2*d-60*a*b^3*c^3)/b^5/(n^5+15*n^4+85*n
^3+225*n^2+274*n+120)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.37347, size = 495, normalized size = 3.21 \[ \frac{{\left (b^{2}{\left (n + 1\right )} x^{2} + a b n x - a^{2}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c^{3}}{{\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{2}} + \frac{3 \,{\left ({\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{3} x^{3} +{\left (n^{2} + n\right )} a b^{2} x^{2} - 2 \, a^{2} b n x + 2 \, a^{3}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c^{2} d}{{\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{3}} + \frac{3 \,{\left ({\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{4} x^{4} +{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a b^{3} x^{3} - 3 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{2} b^{2} x^{2} + 6 \, a^{3} b n x - 6 \, a^{4}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c d^{2}}{{\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{4}} + \frac{{\left ({\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{5} x^{5} +{\left (n^{4} + 6 \, n^{3} + 11 \, n^{2} + 6 \, n\right )} a b^{4} x^{4} - 4 \,{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a^{2} b^{3} x^{3} + 12 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{3} b^{2} x^{2} - 24 \, a^{4} b n x + 24 \, a^{5}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} d^{3}}{{\left (n^{5} + 15 \, n^{4} + 85 \, n^{3} + 225 \, n^{2} + 274 \, n + 120\right )} b^{5}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^3*(b*x + a)^n*x,x, algorithm="maxima")

[Out]

(b^2*(n + 1)*x^2 + a*b*n*x - a^2)*(b*x + a)^n*c^3/((n^2 + 3*n + 2)*b^2) + 3*((n^
2 + 3*n + 2)*b^3*x^3 + (n^2 + n)*a*b^2*x^2 - 2*a^2*b*n*x + 2*a^3)*(b*x + a)^n*c^
2*d/((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6)*b^3) + 3*((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6)*b^4*x^4 + (n^3
+ 3*n^2 + 2*n)*a*b^3*x^3 - 3*(n^2 + n)*a^2*b^2*x^2 + 6*a^3*b*n*x - 6*a^4)*(b*x +
a)^n*c*d^2/((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 24)*b^4) + ((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2
+ 50*n + 24)*b^5*x^5 + (n^4 + 6*n^3 + 11*n^2 + 6*n)*a*b^4*x^4 - 4*(n^3 + 3*n^2 +
2*n)*a^2*b^3*x^3 + 12*(n^2 + n)*a^3*b^2*x^2 - 24*a^4*b*n*x + 24*a^5)*(b*x + a)^
n*d^3/((n^5 + 15*n^4 + 85*n^3 + 225*n^2 + 274*n + 120)*b^5)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.253288, size = 1034, normalized size = 6.71 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^3*(b*x + a)^n*x,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(a^2*b^3*c^3*n^3 + 60*a^2*b^3*c^3 - 120*a^3*b^2*c^2*d + 90*a^4*b*c*d^2 - 24*a^5
*d^3 - (b^5*d^3*n^4 + 10*b^5*d^3*n^3 + 35*b^5*d^3*n^2 + 50*b^5*d^3*n + 24*b^5*d^
3)*x^5 - (90*b^5*c*d^2 + (3*b^5*c*d^2 + a*b^4*d^3)*n^4 + 3*(11*b^5*c*d^2 + 2*a*b
^4*d^3)*n^3 + (123*b^5*c*d^2 + 11*a*b^4*d^3)*n^2 + 3*(61*b^5*c*d^2 + 2*a*b^4*d^3
)*n)*x^4 - (120*b^5*c^2*d + 3*(b^5*c^2*d + a*b^4*c*d^2)*n^4 + 4*(9*b^5*c^2*d + 6
*a*b^4*c*d^2 - a^2*b^3*d^3)*n^3 + 3*(49*b^5*c^2*d + 17*a*b^4*c*d^2 - 4*a^2*b^3*d
^3)*n^2 + 2*(117*b^5*c^2*d + 15*a*b^4*c*d^2 - 4*a^2*b^3*d^3)*n)*x^3 + 6*(2*a^2*b
^3*c^3 - a^3*b^2*c^2*d)*n^2 - (60*b^5*c^3 + (b^5*c^3 + 3*a*b^4*c^2*d)*n^4 + (13*
b^5*c^3 + 30*a*b^4*c^2*d - 9*a^2*b^3*c*d^2)*n^3 + (59*b^5*c^3 + 87*a*b^4*c^2*d -
54*a^2*b^3*c*d^2 + 12*a^3*b^2*d^3)*n^2 + (107*b^5*c^3 + 60*a*b^4*c^2*d - 45*a^2
*b^3*c*d^2 + 12*a^3*b^2*d^3)*n)*x^2 + (47*a^2*b^3*c^3 - 54*a^3*b^2*c^2*d + 18*a^
4*b*c*d^2)*n - (a*b^4*c^3*n^4 + 6*(2*a*b^4*c^3 - a^2*b^3*c^2*d)*n^3 + (47*a*b^4*
c^3 - 54*a^2*b^3*c^2*d + 18*a^3*b^2*c*d^2)*n^2 + 6*(10*a*b^4*c^3 - 20*a^2*b^3*c^
2*d + 15*a^3*b^2*c*d^2 - 4*a^4*b*d^3)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 +
85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 28.5403, size = 7776, normalized size = 50.49 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(x*(b*x+a)**n*(d*x+c)**3,x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c**3*x**2/2 + c**2*d*x**3 + 3*c*d**2*x**4/4 + d**3*x**5/5), Eq(
b, 0)), (12*a**7*d**3*log(a/b + x)/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7
*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 3*a**7*d**3/(12*a**7*b**5 + 48*
a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 48*a*
*6*b*d**3*x*log(a/b + x)/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48
*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 72*a**5*b**2*d**3*x**2*log(a/b + x)/(12*a
**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9
*x**4) - 24*a**5*b**2*d**3*x**2/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x*
*2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 48*a**4*b**3*d**3*x**3*log(a/b + x
)/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a*
*3*b**9*x**4) - 40*a**4*b**3*d**3*x**3/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*
b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 12*a**3*b**4*d**3*x**4*log(
a/b + x)/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3
+ 12*a**3*b**9*x**4) - 22*a**3*b**4*d**3*x**4/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 7
2*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 6*a**2*b**5*c**3*x**
2/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a*
*3*b**9*x**4) + 12*a**2*b**5*c**2*d*x**3/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**
5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 9*a**2*b**5*c*d**2*x**4/(
12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*
b**9*x**4) + 4*a*b**6*c**3*x**3/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x*
*2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) + 3*a*b**6*c**2*d*x**4/(12*a**7*b**5
+ 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4) +
b**7*c**3*x**4/(12*a**7*b**5 + 48*a**6*b**6*x + 72*a**5*b**7*x**2 + 48*a**4*b**
8*x**3 + 12*a**3*b**9*x**4), Eq(n, -5)), (-24*a**6*d**3*log(a/b + x)/(6*a**5*b**
5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) - 8*a**6*d**3/(6*a**5
*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) + 18*a**5*b*c*d**
2*log(a/b + x)/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x
**3) + 6*a**5*b*c*d**2/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**
2*b**8*x**3) - 72*a**5*b*d**3*x*log(a/b + x)/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*
a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) + 54*a**4*b**2*c*d**2*x*log(a/b + x)/(6*a**5*
b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) - 72*a**4*b**2*d**
3*x**2*log(a/b + x)/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b
**8*x**3) + 36*a**4*b**2*d**3*x**2/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*
x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) + 54*a**3*b**3*c*d**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**5*b**5 +
18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) - 27*a**3*b**3*c*d**2*x**
2/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) - 24*a**
3*b**3*d**3*x**3*log(a/b + x)/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2
+ 6*a**2*b**8*x**3) + 36*a**3*b**3*d**3*x**3/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*
a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) + 18*a**2*b**4*c*d**2*x**3*log(a/b + x)/(6*a*
*5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) - 27*a**2*b**4*
c*d**2*x**3/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3
) + 6*a**2*b**4*d**3*x**4/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*
a**2*b**8*x**3) + 3*a*b**5*c**3*x**2/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x + 18*a**3*b**
7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) + 6*a*b**5*c**2*d*x**3/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*b**6*x
+ 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3) + b**6*c**3*x**3/(6*a**5*b**5 + 18*a**4*
b**6*x + 18*a**3*b**7*x**2 + 6*a**2*b**8*x**3), Eq(n, -4)), (12*a**5*d**3*log(a/
b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) + 6*a**5*d**3/(2*a**3*b**5
+ 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) - 18*a**4*b*c*d**2*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 +
4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) - 9*a**4*b*c*d**2/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x +
2*a*b**7*x**2) + 24*a**4*b*d**3*x*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*
a*b**7*x**2) + 6*a**3*b**2*c**2*d*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*
a*b**7*x**2) + 3*a**3*b**2*c**2*d/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2)
- 36*a**3*b**2*c*d**2*x*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**
2) + 12*a**3*b**2*d**3*x**2*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7
*x**2) - 12*a**3*b**2*d**3*x**2/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) +
12*a**2*b**3*c**2*d*x*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2)
- 18*a**2*b**3*c*d**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7
*x**2) + 18*a**2*b**3*c*d**2*x**2/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2)
- 4*a**2*b**3*d**3*x**3/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) + 6*a*b**4
*c**2*d*x**2*log(a/b + x)/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) - 6*a*b*
*4*c**2*d*x**2/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) + 6*a*b**4*c*d**2*x
**3/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) + a*b**4*d**3*x**4/(2*a**3*b**
5 + 4*a**2*b**6*x + 2*a*b**7*x**2) + b**5*c**3*x**2/(2*a**3*b**5 + 4*a**2*b**6*x
+ 2*a*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-24*a**4*d**3*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x)
- 24*a**4*d**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 54*a**3*b*c*d**2*log(a/b + x)/(6*a*b**5
+ 6*b**6*x) + 54*a**3*b*c*d**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 24*a**3*b*d**3*x*log(a/b
+ x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 36*a**2*b**2*c**2*d*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6
*x) - 36*a**2*b**2*c**2*d/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 54*a**2*b**2*c*d**2*x*log(a/b
+ x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 12*a**2*b**2*d**3*x**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 6*a*
b**3*c**3*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 6*a*b**3*c**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*
x) - 36*a*b**3*c**2*d*x*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 27*a*b**3*c*d**2*x*
*2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 4*a*b**3*d**3*x**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 6*b**4*c**
3*x*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 18*b**4*c**2*d*x**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*
x) + 9*b**4*c*d**2*x**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 2*b**4*d**3*x**4/(6*a*b**5 + 6*b
**6*x), Eq(n, -2)), (a**4*d**3*log(a/b + x)/b**5 - 3*a**3*c*d**2*log(a/b + x)/b*
*4 - a**3*d**3*x/b**4 + 3*a**2*c**2*d*log(a/b + x)/b**3 + 3*a**2*c*d**2*x/b**3 +
a**2*d**3*x**2/(2*b**3) - a*c**3*log(a/b + x)/b**2 - 3*a*c**2*d*x/b**2 - 3*a*c*
d**2*x**2/(2*b**2) - a*d**3*x**3/(3*b**2) + c**3*x/b + 3*c**2*d*x**2/(2*b) + c*d
**2*x**3/b + d**3*x**4/(4*b), Eq(n, -1)), (24*a**5*d**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 18*a**4
*b*c*d**2*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**
2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 90*a**4*b*c*d**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*
n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 24*a**4*b*d**3*n*
x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) + 6*a**3*b**2*c**2*d*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**
4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 54*a**3*b**2*c**2*d*
n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) + 120*a**3*b**2*c**2*d*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 +
85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 18*a**3*b**2*c*d**2*n**
2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) + 90*a**3*b**2*c*d**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n
**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**3*
n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**3*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15
*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - a**2*b**3*c
**3*n**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*c**3*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b*
*5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 47*a**2*b**3*c
**3*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 27
4*b**5*n + 120*b**5) - 60*a**2*b**3*c**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 6*a**2*b**3*c**2*d*n**
3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) - 54*a**2*b**3*c**2*d*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 120*a**2*b**3*c
**2*d*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) - 9*a**2*b**3*c*d**2*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 54*a**2
*b**3*c*d**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 2
25*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 45*a**2*b**3*c*d**2*n*x**2*(a + b*x)**n/
(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5
) - 4*a**2*b**3*d**3*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*
n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*d**3*n**2*x**3*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) - 8*a**2*b**3*d**3*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85
*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*c**3*n**4*x*(a + b*
x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 12
0*b**5) + 12*a*b**4*c**3*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5
*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 47*a*b**4*c**3*n**2*x*(a + b*x)
**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*
b**5) + 60*a*b**4*c**3*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3
+ 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3*a*b**4*c**2*d*n**4*x**2*(a + b*x)*
*n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b
**5) + 30*a*b**4*c**2*d*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b*
*5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 87*a*b**4*c**2*d*n**2*x**2*(a
+ b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n
+ 120*b**5) + 60*a*b**4*c**2*d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 +
85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3*a*b**4*c*d**2*n**4*x**
3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) + 24*a*b**4*c*d**2*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*
n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 51*a*b**4*c*d**2*
n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 30*a*b**4*c*d**2*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4*d**3*
n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**3*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 11*a*b**4*d*
*3*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n*
*2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**3*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*c**3*n*
*4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 13*b**5*c**3*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 59*b**5*c**3*n*
*2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + 107*b**5*c**3*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*
n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 60*b**5*c**3*x**2
*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**
5*n + 120*b**5) + 3*b**5*c**2*d*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 36*b**5*c**2*d*n**3*x
**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) + 147*b**5*c**2*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5
*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 234*b**5*c**2*d*
n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 2
74*b**5*n + 120*b**5) + 120*b**5*c**2*d*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n
**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3*b**5*c*d**2*n**4
*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 27
4*b**5*n + 120*b**5) + 33*b**5*c*d**2*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 123*b**5*c*d**2
*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 183*b**5*c*d**2*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*
b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 90*b**5*c*d*
*2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 +
274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*d**3*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n
**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 10*b**5*d**3*n**3*
x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274
*b**5*n + 120*b**5) + 35*b**5*d**3*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n
**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 50*b**5*d**3*n*x**
5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) + 24*b**5*d**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85
*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5), True))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.22521, size = 1, normalized size = 0.01 \[ \mathit{Done} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^3*(b*x + a)^n*x,x, algorithm="giac")

[Out]

Done